Где - интегральная функция Лапласа , задается таблично.

Из свойств определенного интеграла Ф(-х )= - Ф(х ), т.е. функция Ф(х ) – нечетная.

Отсюда выводятся следующие (производные) формулы:

Полагая: а) d=s

Правило трех сигм (3s): практически достоверно, что при однократном испытании, отклонение нормально распределенной случайной величины от ее математического ожидания не превышает утроенного средне-квадратического отклонения.

Задача : Предполагается, что масса вылавливаемых в пруду зеркальных карпов есть случайная величина Х , имеющая нормальное распределение с математическим ожиданием a =375 г. и средним квадратическим отклонением s = 25 г. Требуется определить:

А) Вероятность, что масса случайно выловленного карпа окажется не менее a=300 г. и не более b=425 г.

Б) Вероятность, что отклонение указанной массы от среднего значения (математического ожидания) по абсолютной величине будет меньше d= 40 г.

В) По правилу трех сигм найти минимальную и максимальную границы предполагаемой массы зеркальных карпов.

Решение :

А)

Вывод : Примерно 98% карпов, плавающих в пруду, имеют массу не менее 300 г. и не более 425 г.

Б)

Вывод : Примерно 89% имеют массу от a-d = 375- 40 = 335 г. до a +d = 375 + 40 = 415 г.

В) По правилу трех сигм:

Вывод : Масса практически всех карпов (примерно 100%) заключена в интервале от 300 до 450 грамм.

Задачи для самостоятельного решения

1. Стрелок поражает мишень с вероятностью 0,8. Какова вероятность, что при трех выстрелах мишень будет поражена ровно два раза? Хотя бы два раза?

2. В семье четверо детей. Принимая рождения мальчика и девочки как равновероятные события, оценить вероятность, что в семье две девочки. Три девочки и один мальчик. Составить закон распределения для случайной величины Х , соответствующей возможному количеству девочек в семье. Рассчитать характеристики: М (Х ), s.

3. Игральную кость подбрасывают три раза. Какова вероятность, что «6» выпадет один раз? Не более одного раза?

4. Случайная величина Х равномерно распределена на интервале . Какова вероятность попадания случайной величины Х на интервал ?

5. Предполагается, что рост людей (для определенности – взрослых, мужчин), проживающих в некоторой местности, подчиняется нормальному закону распределения с математическим ожиданием а =170 см и среднеквадратическим отклонением s=5 см. Какова вероятность, что рост случайно выбранного человека:

А) окажется не более 180 см и не менее 165 см?

Б) отклоняется от среднего по абсолютной величине не более чем на 10 см?

В) по правилу «трех сигм» оценить минимально и максимально возможный рост человека.

Контрольные вопросы

1. Как записывается формула Бернулли? Когда она применяется?

2. Что представляет собой биномиальный закон распределения?

3. Какая случайная величина называется равномерно распределенной?

4. Какой вид имеют интегральная и дифференциальная функции распределения для случайной величины, равномерно распределенной на отрезке [a , b ]?

5. Какая случайная величина имеет нормальный закон распределения?

6. Как выглядит кривая плотности нормального распределения?

7. Как найти вероятность попадания нормально распределенной случайной величины в заданный интервал?

8. Как формулируется правило «трех сигм»?

Введение в теорию случайных процессов

Случайной функцией называют функцию, значение которой при каждом значении независимой переменной является случайной величиной.

Случайным (или стохастическим) процессом называют случайную функцию, для которой независимой переменной является время t .

Иначе говоря, случайный процесс – это случайная величина, изменяющаяся во времени. Случайный процесс X (t ) на является определенной кривой, он является множеством или семейством определенных кривых x i (t) (i = 1, 2, …, n ), получаемых в результате отдельных опытов. Каждую кривую этого множества называют реализацией (или траекторией) случайного процесса.

Сечением случайного процесса называют случайную величину X (t 0), соответствующую значению случайного процесса в некоторый фиксированный момент времени t = t 0 .

Как вставить математические формулы на сайт?

Если нужно когда-никогда добавлять одну-две математические формулы на веб-страницу, то проще всего сделать это, как описано в статье : математические формулы легко вставляются на сайт в виде картинок, которые автоматически генерирует Вольфрам Альфа. Кроме простоты, этот универсальный способ поможет улучшить видимость сайта в поисковых системах. Он работает давно (и, думаю, будет работать вечно), но морально уже устарел.

Если же вы постоянно используете математические формулы на своем сайте, то я рекомендую вам использовать MathJax - специальную библиотеку JavaScript, которая отображает математические обозначения в веб-браузерах с использованием разметки MathML, LaTeX или ASCIIMathML.

Есть два способа, как начать использовать MathJax: (1) при помощи простого кода можно быстро подключить к вашему сайту скрипт MathJax, который будет в нужный момент автоматически подгружаться с удаленного сервера (список серверов ); (2) закачать скрипт MathJax с удаленного сервера на свой сервер и подключить ко всем страницам своего сайта. Второй способ - более более сложный и долгий - позволит ускорить загрузку страниц вашего сайта, и если родительский сервер MathJax по каким-то причинам станет временно недоступен, это никак не повлияет на ваш собственный сайт. Несмотря на эти преимущества, я выбрал первый способ, как более простой, быстрый и не требующий технических навыков. Следуйте моему примеру, и уже через 5 минут вы сможете использовать все возможности MathJax на своем сайте.

Подключить скрипт библиотеки MathJax с удаленного сервера можно при помощи двух вариантов кода, взятого на главном сайте MathJax или же на странице документации :

Один из этих вариантов кода нужно скопировать и вставить в код вашей веб-станицы, желательно между тегами и или же сразу после тега . По первому варианту MathJax подгружается быстрее и меньше тормозит страницу. Зато второй вариант автоматически отслеживает и подгружает свежие версии MathJax. Если вставить первый код, то его нужно будет периодически обновлять. Если вставить второй код, то страницы будут загружаться медленнее, зато вам не нужно будет постоянно следить за обновлениями MathJax.

Подключить MathJax проще всего в Blogger или WordPress: в панели управления сайтом добавьте виджет, предназначенный для вставки стороннего кода JavaScript, скопируйте в него первый или второй вариант кода загрузки, представленного выше, и разместите виджет поближе к началу шаблона (кстати, это вовсе не обязательно, поскольку скрипт MathJax загружается асинхронно). Вот и все. Теперь изучите синтаксис разметки MathML, LaTeX и ASCIIMathML, и вы готовы вставлять математические формулы на веб-страницы своего сайта.

Любой фрактал строится по определенному правилу, которое последовательно применяется неограниченное количество раз. Каждый такой раз называется итерацией.

Итеративный алгоритм построения губки Менгера достаточно простой: исходный куб со стороной 1 делится плоскостями, параллельными его граням, на 27 равных кубов. Из него удаляются один центральный куб и 6 прилежащих к нему по граням кубов. Получается множество, состоящее из 20 оставшихся меньших кубов. Поступая так же с каждым из этих кубов, получим множество, состоящее уже из 400 меньших кубов. Продолжая этот процесс бесконечно, получим губку Менгера.

Рис. 4. Плотность нормального распределения.

Пример 6. Определение числовых характеристик случайной величины по её плотности рассматривается на примере. Непрерывная случайная величина задана плотностью

Определить вид распределения, найти математическое ожидание M(X) и дисперсию D(X).

Решение. Сравнивая заданную плотность распределения с (1.16) можно сделать вывод, что задан нормальный закон распределения с m=4. Следовательно, математическое ожидание

M(X)=4, дисперсия D(X)=9.

Среднее квадратическое отклонение σ =3.

Функция нормального распределения (1.17) связана с функцией Лапласа, имеющей вид:

соотношение: Φ (− x ) = −Φ (x ). (Функции Лапласа нечётная). Значения функций f(x) и Ф(х) можно вычислить с помощью таблицы.

Нормальное распределение непрерывной случайной величины играет важную роль в теории вероятностей и при описании реальности, имеет очень широкое распространение в случайных явлениях природы. На практике очень часто встречаются случайные величины, образующиеся именно в результате суммирования многих случайных слагаемых. В частности, анализ ошибок измерения показывает, что они являются суммой разного рода ошибок. Практика показывает, что распределение вероятностей ошибок измерения близко к нормальному закону.

С помощью функции Лапласа можно решать задачи вычисления вероятности попадания в заданный интервал и заданного отклонения нормальной случайной величины.

3.4. Вероятность попадания в заданный интервал нормальной случайной величины

Если случайная величина Х задана плотностью распределения f(x), то вероятность того, что Х примет значение, принадлежащее заданному интервалу, вычисляется по формуле (1.9а). Подставив в формулу (1.9а) значение плотности распределения из (1.16) для нормального распределения N(a, σ ) и сделав ряд преобразований, вероятность того, что Х примет значение, принадлежащее заданному интервалу , будет равна:

P { x 1 ≤ X ≤ x 2 } = Φ(x 2 σ − а )

где: а – математическое ожидание.

−Φ(	x1 − а

Пример 7. Случайная величина Х распределена по нормальному закону. Математическое ожидание a=60, среднеквадратическое отклонение σ =20. Найти вероятность попадания случайной величины Х в заданный интервал (30;90).

Решение. Искомая вероятность вычисляется по формуле (1.18).

Получим: P(30 < X < 90) = Ф((90 – 60) / 20) –Ф((30 – 60)/20) = 2Ф(1,5).

По таблице Приложения 1: Ф(1,5) = 0,4332.. P(30 < X < 90)=2 Ф(1,5) = 2 0,4332 = 0,8664.

Вероятность попадания случайной величины Х в заданный интервал (30; 90) равна: P(30 < X < 90) = 0,8664.

3.5. Вычисление вероятности заданного отклонения нормальной случайной величины

Задачи вычисления вероятности отклонения нормальной случайной величины от заданного значения связаны с различного рода ошибками (измерения, взвешивания). Ошибки разного рода обозначаются переменной ε .

Пусть ε - отклонение нормально распределённой случайной величины Х по модулю. Требуется найти вероятность того, что отклонение случайной величины Х от математического ожидания не превысит заданного значения ε . Данная вероятность записывается в виде: P(|X–a| ≤ ε ). Предполагается, что в формуле (1.18) отрезок [х1 ; х2 ] симметричен относительно математического ожидания а. Таким образом: a–х1 =ε ; х2 –a =ε . Если эти выражения сложить, можно записать: х2 – х1 =2ε . Границы интервала [х1 ; х2 ] будут иметь вид:

х1 =а –ε ; х2 =а + ε .

В правую часть (1.18) подставляются значения х1 , х2 из (1.19), а выражение в фигурных скобках переписывается в виде двух неравенств:

1) х 1 ≤ X и заменяется в нём х1 согласно (1.19), получится: а–ε ≤ X или а–X ≤ ε .

2) X ≤ х 2 , аналогично заменяется х2 , получится: X ≤ а+ε или X–a ≤ ε .

Пример 8. Производится измерение диаметра детали. Случайные ошибки измерения принимаются за случайную величину Х и подчинены нормальному закону с математическим ожиданием а=0, со средним квадратическим отклонение σ =1 мм. Найти вероятность того, что измерение будет сделано с ошибкой, не превышающей по абсолютной величине 2 мм.

Решение. Дано: ε =2, σ =1мм, а=0.

По формуле (5.20): P (|X–0| ≤ 2) = 2Ф(ε /σ ) = 2Ф(2/1) = 2Ф(2,0).

Вероятность того, что измерение будет сделано с ошибкой, не превышающей по абсолютной величине 1мм равна:

P (|X| ≤ ε ) = 2 0,4772 = 0,9544.

Пример 9. Случайная величина, распределенная по нормальному закону с параметрами: а=50 и σ =15. Найти вероятность того, что отклонение случайной величина от своего математического ожидания – а будет меньше 5 ,т.е. P(|X–a|